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数の基礎

		自然数とは、一般に 1, 2, 3, ・・・ といった、1 から順番に +1 した数字の集合です。 以下、自然数の集合を N （Natural Number : 英語の自然数） と記述します。 自然数＝1 から順番に +1 した数字の集合 一部の文書では、自然数に 0 を加えていますが、この文書では 0 を含めないこととします。

		整数とは、自然数と、自然数の任意の要素に対する逆元（すなわち負の数）の集合、および {0} の和集合です。 以下、整数の集合を Z （Zahlen : ドイツ語の数の複数形） と記述します。 整数 ＝ 自然数と負の数、および 0 を要素にした集合 集合の記号で整数を記述すると、以下のようになります。 （例 2-1） Z ＝ N ∪ { -1 × x ; ∀x ∈ N } ∪ { 0 } 自然数は、整数の部分集合になります。（すなわち N ⊂ Z です。）

		有理数とは、任意の整数と任意の自然数の割り算で得られる数の集合です。 以下、有理数の集合を Q と記述します。 有理数 ＝ 任意の整数と任意の自然数の割り算で得られる数の集合 集合の記号で有理数を記述すると、以下のようになります。 （例 3-1） Q ＝ {x / y ; ∀x ∈ Z, ∀y ∈ N} 整数は有理数の部分集合になります。（すなわち、Z ⊂ Q です。） 有理数に関して、その定義から、以下の定理が成立します。 [定理 4-1] 有理数は、循環小数である。 すなわち、小数点以下が 　0.a1a2a3...an{b1b2...bn} （{ } 内は無限回繰り返し） となる。 逆に、循環小数であれば、有理数である。

		実数とは、有理数で作成される数列の収束値のことです。 より直感的に考えると、数直線上の任意の点は実数になります。 高校数学での数は、通常、実数を指し示していることが多いようです。 以下、実数の集合を R （Real Number : 英語の実数）と記述します。 実数 ＝ 有理数で作成される数列の収束値の集合 有理数は実数の部分集合になります。（すなわち、Q ⊂ R です。） 有理数は循環小数でしたが、実数は必ずしも循環小数ではありません。（無理数の項を参照）

		無理数とは、実数であるが、循環小数ではない数の集合のことです。 空集合＝循環小数ではない実数の集合 すなわち、実数の集合は、有理数の集合と無理数の集合の和集合で構成されます。 無理数の代表例として、以下の数があげられます。 （例 6-1） 円周率 π = 3.14159265358979323・・・ （例 6-2） 自然底数 e = 2.7182818284590452・・・ 無理数は実数の大部分を占めます。

		虚数単位とは、平方すると、-1 になる数のことです。 虚数単位＝平方すると -1 になる数 -1 の平方が 1 になることから、実数の平方は、必ず正数（正の実数）もしくは 0 になります。 しかし、虚数単位の場合は、平方すると、-1 になることから、実数の特徴を満たしていません。 通常、虚数単位は i で記述します。すなわち i2 = -1 となります。

		複素数とは、２つの実数 x, y および虚数単位 i を用いて x + yi 記述される数の集合です。 以下、複素数の集合を C （Complex Number : 英語の複素数（複雑な数！））と記述します。 複素数＝実数 + 実数 × 虚数単位 で記述される数の集合 集合の記号で複素数を記述すると、以下のようになります。 （例 3-1） C ＝ {x + yi ; ∀x,y ∈ R} 任意の複素数 ω に対し、ある実数 x,y を用いて ω = x + yi と記述できたとき、x を実部、y を虚部といいます。 特に虚部が常に 0 である数が実数であると考えられるため、実数は複素数の部分集合ということになります。（すなわち R ⊂ C です。）